Question

（2007•益陽）已知平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）請在給出的直角坐標系xOy中畫出△ABC，設AC交X軸于點D，連接BD，證明：OD平分∠ADB；
（2）請在X軸上找出點E，使四邊形AOCE為平行四邊形，寫出E點坐標，并證明四邊形AOCE是平行四邊形；
（3）設經過點B，且以CE所在直線為對稱軸的拋物線的頂點為F，求直線FA的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖示可知OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB，可得DA=DB，從而OD平分∠ADB．
（2）過點C作CE⊥x軸，E為垂足，根據(jù)AO=2=CE，AO⊥x軸，CE⊥x軸可知AO∥CE，所以四邊形AOCE是平行四邊形．
（3）設過A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，則利用待定系數(shù)法可解得直線AC的解析式為y=-x+2．所以拋物線過B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法可解拋物線解析式為，所以其頂點為．設經過，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，利用待定系數(shù)法可解得直線FA的解析式為．
解答：解：（1）畫圖如右∵OA=2=OB，OD⊥AB，
即OD垂直平分AB，
∴DA=DB．
從而OD平分∠ADB．（3分）

（2）過點C作CE⊥x軸，E為垂足，則E（4，0），
使四邊形AOCE為平行四邊形．
理由如下：∵AO=2=CE，
又AO⊥x軸，CE⊥x軸?AO∥CE，
∴四邊形AOCE是平行四邊形．（7分）

（3）設過A（0，2），C（4，-2）的解析式為y=k₁x+b₁，
則，
∴直線AC的解析式為y=-x+2．
令y=0，得x=2．
故D的坐標為（2，0）．（9分）
由于拋物線關于CE對稱，
故D關于CE的對稱點D′（6，0）也在拋物線上，
所以拋物線過B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則有，
∴拋物線解析式為．
其頂點為．（12分）
設經過，A（0，2）的解析式為y=k₂x+b₂，
則，
∴直線FA的解析式為．（14分）
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行四邊形的判定和角平分線的性質等．要熟練掌握才能靈活運用．