Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩直角邊AC、BC的長恰是方程x²-4x+2=0的兩個不同的根，則Rt△ABC的斜邊上的高線CD的長為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到AC+BC=4和AC•BC=2，再把AC+BC=4兩邊平方，得到AC²+BC²的值，由勾股定理可得AB²=AC²+BC²，從而求出斜邊AB的值，又因為S_△ABC=AC•BC=AB×CD，所以把已知數(shù)據(jù)代入可求出CD的長．
解答：∵兩直角邊AC、BC的長恰是方程x²-4x+2=0的兩個不同的根，
∴AC+BC=-=4，AC•BC==2，
∴（AC+BC）²=16，
∴AC²+BC²+2AC•BC=16，
∴AC²+BC²=16-2AC•BC=12，
∵∠C=90°，
∴AB²=AC²+BC²=12，
∴AB==2，
∵S_△ABC=AC•BC=AB×CD，
∴×2=×2×CD，
∴CD=．
故選A．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-，x₁x₂=和勾股定理以及三角形的面積公式的應(yīng)用．