Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EF交BD于點(diǎn)G。設(shè)AD=a，BC =b。

求CD的長(zhǎng)度（用a，b表示）；

求EG的長(zhǎng)度（用a，b表示）；

試判斷EG與FG是否相等，并說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵∠DAE=∠ABC= 90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB。

                 又∵AB為⊙O的直徑，∴DA、CB為⊙O的切線。

                 又∵CD是⊙O的切線，AD=a，BC =b，

                 ∴DE= AD=a，CE= BC =b（切線長(zhǎng)定理）�！郈D= DE＋CE= a＋b。

（2）∵EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB�！唷鱀EG∽△DCB。

     ∴，即�！�。

（3）相等。理由如下：

∵EF⊥AB，CB⊥AB，DA⊥AB，∴DA∥EF∥CB。

∴，且△BGF∽△BDA�！�，即�！�。

∴EG=FG。

【解析】切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，平行的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由已知可得DA、CB和CD都要為⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得出結(jié)果。

        （2）由EF⊥AB，CB⊥AB 可得EF∥CB，從而根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得EG的長(zhǎng)度。

        （3）由DA∥EF∥CB，根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定和性質(zhì)可求得FG的長(zhǎng)度，與EG的長(zhǎng)度比較即可得出結(jié)論。