Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以y軸上的點(diǎn)P為圓心的OP與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C．D兩點(diǎn)，連接AC．
（1）若點(diǎn)E在AB上，EA=EC，求證：AC²=AE•AB；
（2）若∠BPO=60°，AC=，過(guò)點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M（O，8），點(diǎn)R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在直線y=kx（k＞0）上，且x₁、x₂是方程x²-（k+2）x+4=O的兩根；直線AM與直線y=kx交于點(diǎn)N，分別過(guò)P、Q，N作x軸的垂線，垂足分別為R’、Q'、N'．請(qǐng)找出OR'，OQ'，ON'之間的關(guān)系式，并加以證明．

Answer 1

證明：△ACE∽△ABC，
∴=，即AC²=AE•AB，
∵AC²=OC²+OA²=（AE²-OE²）+（OE+AE）²，
=AE²-OE²+OE²+AE²+2OE•AE，
=2AE²+2OE•AE，
=AE•2（AE+OE），
=AE•2OA，
∴AC²=AE•AB．

（2）∵∠BPO=60°，AC=AE，
∴∠OAC=∠ECA=∠BPO=30°，在直角三角形COA中，AC=，
∴OA=4，則直線AM的解析式y(tǒng)=-2x+8，
∵x₁、x₂是方程x²-（k+2）x+4=O的兩根，
∴x₁+x₂=k+2，x₁x₂=4，于是+=+=，
又由得交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)x=，
顯然=，
∴+=．
分析：連接BC，證△ACE∽△ABC，根據(jù)相似比可求出第一問(wèn)；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC，OA的長(zhǎng)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k+2，x_xx₂=4，于是OR′和OQ′與k的關(guān)系，根據(jù)的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，從而求的k和ON′的關(guān)系，從而求得關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系，兩條直線相交或平行的問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)等．