Question

已知正方形ABCD的邊長為4，E是CD上一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、BD、FD．
（1）BD與CF的位置關(guān)系是______．
（2）①如圖，當(dāng)CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為______．
②如圖，當(dāng)CE=2（即點E為CD中點）時，△BDF的面積為______．
③如圖，當(dāng)CE=3時，△BDF的面積為______．
（3）如圖，根據(jù)上述計算的結(jié)果，當(dāng)E是CD上任意一點時，請?zhí)岢瞿銓Α鰾DF面積與正方形ABCD的面積之間關(guān)系的猜想，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）證A、D、F共線，根據(jù)平行四邊形的判定推出平行四邊形BCFD即可；
（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②③根據(jù)S_△BDF=S_{四邊形BCDF}-S_△BCF=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF代入求出即可；
（3）由（2）求出了△BDF的面積，求出正方形的面積，即可得出答案．
解答：解：（1）正方形ABCD，等腰直角三角形CEF，
∴∠ADC=∠FDC=90°，
∴∠ADC+∠FDC=180°，
即A、D、F三點共線，
∵DF∥CB，DF=CD=BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴FC∥BD，
故答案為：平行．

（2）①△BDF的面積是DF×AB=×4×4=8，
故答案為：8．

②△BDF的面積是：S_{四邊形BCFD}-S_△BCF
=S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=BC×DC+CD×EF-BC×CE
=×4×+×4×2-×4×2
=8，
故答案為：8．

③與②求法類似：△BDF的面積是S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=BC×CD+CD×EF-CB×EF
=×4×4+×4×3-×4×3
=8，
故答案為：8．

（3）△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關(guān)系是S_△BDF=S_{正方形ABCD}．
證明：∵S_△BDF=8，
S_{正方形ABCD}=BC×CD=4×4=16，
∴S_△BDF=S_{正方形ABCD}．
點評：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，等腰直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把要求的三角形的面積轉(zhuǎn)化成能根據(jù)已知求出的三角形的面積的和或差的形式，再根據(jù)三角形的面積公式求出每一部分的面積．