Question

如圖，已知等邊，以邊BC為直徑的半圓與邊AB,AC分別交于點D、E,過點D作DF⊥AC于點F，

（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）過點F作FH⊥BC于點H，若等邊的邊長為8，求AF，F(xiàn)H的長。

 

Answer 1

【答案】

（1）DF與⊙O相切，證明見解析（2）2，

【解析】（1）DF與⊙O相切   …………………………1分

證明：連接OD 

∵是等邊三角形    

∴∠A=∠B=∠C=60⁰                                    

∵OD=OB

∴△ODB是等邊三角形 ……………………………2分

∴∠DOB=60⁰

∴∠DOB =∠C=60⁰

∴OD∥AC

∵DF⊥AC

∴ DO⊥DF  …………………………………………4分

∴DF與⊙O相切………………………………………5分

（2）解：連接CD          

∵CB是⊙O直徑                        

∴DC⊥AB                             

又∵AC=CB=AB                        

∴D是AB中點                          

∴AD=                   

在直角三角形ADF中                      

∠A=60⁰   ∠ADF=30⁰   ∠AFD= 90⁰            

∴………….7分

∴FC=AC-AF=8-2=6

∵ FH⊥BC

∴∠FHC= 90⁰

∵∠C=60⁰

∴ ∠FHC=30⁰

∴

∴ …..9分

 (1)根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端且與半徑垂直的直線是圓的切線”定理，（連半徑，證垂直即可）

      （2）利用直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的三線合一及直角三角形的勾股定理即可