【題目】如圖①,△ABC是等腰直角三角形,在兩腰AB、AC外側(cè)作兩個等邊三角形ABD和ACE,AM和AN分別是等邊三角形ABD和ACE的角平分線,連接CM、BN,CM與AB交于點(diǎn)P.
(1)求證:CM=BN;
(2)如圖②,點(diǎn)F為角平分線AN上一點(diǎn),且∠CPF=30°,求證:△APF∽△AMC;
(3)在(2)的條件下,求的值.
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【解析】
(1)根據(jù)△ABC是等腰直角三角形,AM和AN分別是等邊三角形ABD和ACE的角平分線,即可得到AB=AC,∠BAC=90°,∠BAM=∠CAN=30°,AM=AN,進(jìn)而得出△BAN≌△CAM,進(jìn)而得到CM=BN;
(2)依據(jù)∠APF=∠AMC,∠MAC=∠PAF=120°,即可判定△APF∽△AMC;
(3)連接CF,依據(jù)A,F,C,P四點(diǎn)共圓,可得∠AFP+∠CFN=90°,根據(jù)∠CFN+∠FCN=90°,可得∠FCN=∠AFP=∠ACM.再根據(jù)∠FNC=∠PAC=90°,可得△PAC∽△FNC,進(jìn)而得出=2①;根據(jù)△APF∽△AMC,可得②,聯(lián)立①②可得,進(jìn)而得到.
(1)∵△ABC是等腰直角三角形,AM和AN分別是等邊三角形ABD和ACE的角平分線,
∴AB=AC,∠BAC=90°,∠BAM=∠CAN=30°,AM=AN,
∴∠BAN=∠CAM=120°,
∴△BAN≌△CAM,
∴CM=BN;
(2)∵∠APF=∠APC∠CPF=∠APC30°,∠AMC=∠APC∠MAB=∠APC30°,
∴∠APF=∠AMC,
又∵∠MAC=∠PAF=120°,
∴△APF∽△AMC;
(3)如圖②,連接CF,
∵△APF∽△AMC,
∴∠AFP=∠ACM,
∴A,F,C,P四點(diǎn)共圓,
∴∠PFC=∠PAC=90°,
∴∠AFP+∠CFN=90°,
∵∠CFN+∠FCN=90°,
∴∠FCN=∠AFP=∠ACM.
又∵∠FNC=∠PAC=90°.
∴△PAC∽△FNC,
∴==2①;
∵△APF∽△AMC,
∴②,
由①可得,FN=AP;由②可得,AF=AP,
∴.
∵△APF∽△AMC,
∴,AM=AN,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的斜邊在軸上,邊與軸交于點(diǎn),平分交邊于點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)的圓的圓心恰好在軸上,⊙與里面相交于另一點(diǎn).
(1)求證:是⊙的切線 ;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,求⊙的半徑及線段的長;
(3)試探究線段三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】星海中學(xué)為了了解本校學(xué)生喜愛的球類運(yùn)動,在本校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,要求學(xué)生在“籃球、足球、排球、其它”四個選項(xiàng)中,選取自己最喜愛的一種球類運(yùn)動(必選且只選一種).學(xué)校將收集的數(shù)據(jù)統(tǒng)計整理,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共抽查了多少名學(xué)生?
(2)請通過計算補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)如果星海中學(xué)共有1200名學(xué)生請你估計該校最喜愛足球的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,延長BC到點(diǎn)D,使BD=BA,P是BC邊上一點(diǎn).點(diǎn)Q在射線BA上,PQ=BP,以點(diǎn)P為圓心,PD長為半徑作⊙P,交AC于點(diǎn)E,連接PQ,設(shè)PC=x.
(1)AB= ,CD= ,當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時,求x的值;
(2)x為何值時,⊙P與AB相切?
(3)當(dāng)PC=CD時,求陰影部分的面積;
(4)若⊙P與△ABC的三邊有兩個公共點(diǎn),直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人們“節(jié)能環(huán)保,綠色出行”意識的增強(qiáng),越來越多的人喜歡騎自行車出行,也給自行車商家?guī)砩虣C(jī).某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元.今年該型自行車每輛售價預(yù)計比去年降低200元.若該型車的銷售數(shù)量與去年相同,那么今年的銷售總額將比去年減少10%,求:
(1)A型自行車去年每輛售價多少元?
(2)該車行今年計劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛,且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍.已知,A型車和B型車的進(jìn)貨價格分別為1500元和1800元,計劃B型車銷售價格為2400元,應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形內(nèi)接于,為延長線上一點(diǎn),平分.
(1)求證:;
(2)如圖2,若為直徑,過點(diǎn)的圓的切線交延長線于,若,,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】只有1和它本身兩個因數(shù)且大于1的正整數(shù)叫做素數(shù).我國數(shù)學(xué)家陳景潤哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)都表示為兩個素數(shù)的和”.如20=3+17.
(1)從7、11、19、23這4個素數(shù)中隨機(jī)抽取一個,則抽到的數(shù)是7的概率是 ;
(2)從7、11、19、23這4個素數(shù)中隨機(jī)抽取1個數(shù),再從余下的3個數(shù)中隨機(jī)抽取1個數(shù),用畫樹狀圖或列表的方法,求抽到的兩個素數(shù)之和等于30的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱.
(1)求直線的解析式;
(2)點(diǎn)為線段上一點(diǎn),點(diǎn)為線段上一點(diǎn),,連接,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,的面積為(),求與之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)取最大值時,若點(diǎn)是平面內(nèi)的一點(diǎn),在直線上是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,若存在,請直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求的取值范圍;
(2)若為非負(fù)整數(shù),且該方程的根都是有理數(shù),求出該方程的根.
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