Question

如圖，已知拋物線y=

2

3

x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），它的對(duì)稱軸為直線x=2．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，聯(lián)結(jié)BD并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PA，求∠APC的余切值；
（3）在（2）的條件下，若拋物線上存在一點(diǎn)E，使得∠DPE=∠ACB，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線BD的解析式，進(jìn)而得出∠APC的余切值；
（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△AOP∽△AHE，進(jìn)而得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=

2

3

x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），它的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴

9× 2 3 +3b+c=0 - b 2× 2 3 =2

，
解得：

b=- 8 3 c=2

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=

2

3

x²-

8

3

x+2；

（2）∵y=

2

3

x²-

8

3

x+2=

2

3

（x²-4x）+2=

2

3

（x-2）²-

2

3

，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-

2

3

），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+a，
∴

3k+a=0 2k+a=- 2 3

，
解得：

k= 2 3 a=-2

，
∴直線BD的解析式為：y=

2

3

x-2，
∴P（0，-2），
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），它的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），
在直角三角形POA中，
cot∠APC=

PO

AO

=2；

（3）∵BC=BP，AC=AP，
∴∠BCO=∠BPO，∠ACO=∠APO，
∴∠BCA=∠BPA，
∴延長(zhǎng)PA交拋物線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，
∴△AOP∽△AHE，
∴

PO

AO

=

EH

AH

=2，
設(shè)AH=x，EH=2x，則點(diǎn)E（x+1，2x）
∴2x=

2

3

(x+1)2-

8

3

(x+1)+2，
解得：x₁=0，x₂=5，
∴E₁（1，0），E₂（6，10）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知結(jié)合相似三角形判定與性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．