Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于O．
（1）如果∠ABC=40°，求∠ADC，∠BCD的度數．
（2）如果AD=20，AC=18，BD=26，求△OBC的周長．
（3）如果AB=10，AC=12，BD=16，這個平行四邊形是菱形嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=40°，
∴∠ADC=40°，∠BCD=140°；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD，OB=BD，OC=AC，
∵AC=18，BD=26，
∴OB=13，OC=9，
∵AD=20，
∴△OBC的周長為20+13+9=42；

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=BD，OA=AC，
∵AB=10，AC=12，BD=16，
∴OA=6，OB=8，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB為直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
分析：（1）根據平行四邊形的性質，鄰角互補，對角相等；
（2）根據平行四邊形的性質，對角線互相平分得出OC，OB；
（3）根據平行四邊形的性質，對角線互相平分得出OA，OB，再由勾股定理的逆定理得出△AOB為直角三角形，根據對角線垂直的平行四邊形為菱形得出結論．
點評：本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定，是基礎知識要熟練掌握．