Question

如圖，△OBC與△PBC均為邊長為2的等邊三角形，A、D分別是OB、OC上的一點，且AB=DC=1，連接AP、DP．求證：BE=EF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：先得出△BOP≌△COP，∠BOP=∠COP，BC⊥OP，BM=CM，然后得到△BOM≌△BPM，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)設(shè)EF為2x，則AD為3x，BC為6x，BM為3x，得到BE=2x，BE=EF．

解答：解：連接AD交OP于點N，

在△BOP和△COP中，

BO=CO BP=CP OP=OP

，
∴△BOP≌△COP（SSS）．
∴∠BOP=∠COP．
∴BC⊥OP，BM=CM．
在Rt△BOM和Rt△BPM中，

OB=PB BM=BM

，
∴△BOM≌△BPM（HL）．
∴OM=PM．
∵△OBC與△PBC均為邊長為2的等邊三角形，AB=DC=1，
∴AD是△OBC的中位線，
∴AD=

1

2

BC且AD∥BC，
∴△PFM∽△PDN．
∴

EF

AD

=

PM

PN

=

2

3

．
設(shè)EF為2x，則AD為3x，BC為6x，BM為3x，
∵OA=OD，∠BOP=∠COP，
∴AN=DN．
∴EM=FM=x，
∴BE=2x．
∴BE=EF．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)．還用到相似三角形的判定及性質(zhì)．這些是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．