Question

在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是________．

Answer 1

6
分析：在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短得出此時(shí)BM+MN最小，求出E和B關(guān)于AD對(duì)稱，求出BM+MN=EN，求出EN，即可求出答案．
解答：在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN最小（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），
∵AD平分∠CAB，AE=AB，
∴EO=OB，AD⊥BE，
∴AD是BE的垂直平分線（三線合一定理），
∴E和B關(guān)于直線AD對(duì)稱，
∴EM=BM，
即BM+MN=EM+MN=EN，
∵EN⊥AB，
∴∠ENA=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AEN=30°，
∵AE=AB=4，
∴AN=AE=2，
在△AEN中，由勾股定理得：EN==6，
即BM+MN的最小值是6．
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．