Question

如圖，直線l：y=

3

3

x+

3

3

與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，以點(diǎn)A（1，0）為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，分別交x軸、y軸正半軸于點(diǎn)D、E，直線l與⊙A交于點(diǎn)F，分別過點(diǎn)B、F作⊙A的切線交于點(diǎn)M．
（1）直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）求直線MF的解析式；
（3）若點(diǎn)P是

BEF

上任意一點(diǎn)（不與B、F重合）．連接BP、FP．過點(diǎn)M作MN∥PF，交直線l于點(diǎn)N．設(shè)PB=a，MN=b，求b與a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量a的取值范圍；
（4）若將（3）中的條件點(diǎn)P是

BEF

上任意一點(diǎn)，改為點(diǎn)P是⊙A上任意一點(diǎn)，其它條件不變．當(dāng)點(diǎn)P在⊙A上的什么位置時(shí)，△BMN為直角三角形，并寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．（第（4）問直接寫出結(jié)果，不要求證明或計(jì)算過程）

Answer 1

分析：（1）分別令x=0，y=0即可求出B、C的坐標(biāo)；
（2）可作AH⊥BF于H，F(xiàn)G⊥BD于G，根據(jù)tan∠CBO求出∠CBO=30°，而圓的半徑AB=2，所以HA=

1

2

AB=1，BH=

3

，利用垂徑定理可求BF=2

3

，所以FG=

1

2

BF=

3

BC=3OG=2，所以F（2，

3

），又因∠MBF=60°，BM=MF，可知MB=MF=BF=2

3

，M（-1，2

3

）；再設(shè)直線MF的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；
（3）因?yàn)镸N∥PF，所以∠NMF=∠PFM，又因∠PFM=∠PBF，所以∠PBF=∠FMN，進(jìn)而可證△PBF∽△FMN，所以

PB

FM

=

BF

MN

，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出a、b的關(guān)系式，且0＜a＜2

3

；
（4）因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或與點(diǎn)D重合時(shí)，△BMN為直角三角形，所以此時(shí)點(diǎn)N的坐為（5，2

3

），（

1

2

，

3

2

）．

解答：解：（1）B（-1，0），C（0，

3

3

）；

（2）作AH⊥BF于H，F(xiàn)G⊥BD于G，
tan∠CBO=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠CBO=30°
∴HA=

1

2

AB=1，
∴BH=

3

，BF=2BH=2

3

，
∴FG=

1

2

BF=

3

，BC=3OG=2，
∴F（2，

3

），
∵∠MBF=60°，BM=MF，
∴MB=MF=BF=2

3

，
∴M（-1，2

3

），
設(shè)直線MF的解析式為y=kx+b，
∴

2 3 =-k+b 3 =2k+b

，
∴

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
∴y=-

3

3

x+

5

3

3

y；

（3）∵M(jìn)N∥PF，
∴∠NMF=∠PFM，
∵∠PFM=∠PBF，
∴∠PBF=∠FMN，
∵∠MNF=∠BFP，
∴△PBF∽△FMN，
∴

PB

FM

=

BF

MN

，
∴

a

2 3

=

2 3

b

，
∴ab=12，
∴b=

12

a

，
0＜a＜2

3

；

（4）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或與點(diǎn)D重合時(shí)，△BMN為直角三角形，
此時(shí)點(diǎn)N的坐為（5，2

3

），（

1

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題需仔細(xì)分析題意，利用相似三角形的性質(zhì)和圓的有關(guān)知識即可解決問題．