Question

如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，CN=CD，P是直線AC上的一點(diǎn)，則|PM-PN|的最大值=________．

Answer 1

a
分析：找出M關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接M′N(xiāo)并延長(zhǎng)與直線AC交于點(diǎn)Q，若P運(yùn)動(dòng)到Q位置時(shí)，所求式子最大，此時(shí)最大值為M′N(xiāo)的長(zhǎng)，理由為：當(dāng)P在其他位置時(shí)，連接PM與PN，及PM′，根據(jù)線段垂直平分線定理得到PM=PM′，在三角形PM′N(xiāo)中，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊可得M′N(xiāo)最大，由M為AB中點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到M為AD中點(diǎn)，進(jìn)而表示出M′D的長(zhǎng)，再由CN的長(zhǎng)表示出DN的長(zhǎng)，在直角三角形M′DN中，根據(jù)勾股定理即可表示出M′N(xiāo)的長(zhǎng)，即為所求式子的最大值．
解答：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

作出M關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接M′N(xiāo)，并延長(zhǎng)M′N(xiāo)與直線AC交于點(diǎn)Q，
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到Q位置時(shí)，|PM-PN|=QM′-QN=M′N(xiāo)最大，理由為：
任意在直線AC上取一點(diǎn)P，連接PM，PN，PM′，有PM=PM′，
在△PM′N(xiāo)中，PM-PN=PM′-PN＜M′N(xiāo)，故M′N(xiāo)最大；
由AC為線段MM′的垂直平分線，得到AM=AM′，
又正方形ABCD，得到∠BAD=∠D=90°，且AB=AD=DC=BC=a，
∴△MAM′為等腰直角三角形，又AM=BM=AB=a，
則有AM′=AM=a，且M′D=a，
又CN=a，則有DN=a，
在Rt△M′DN中，
根據(jù)勾股定理得：M′N(xiāo)==a，
則|PM-PN|的最大值為a．
故答案為：a
點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線的問(wèn)題，涉及的知識(shí)有對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系：兩邊之差小于第三邊，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想．本題的難點(diǎn)為找出所求式子取得最大值時(shí)P點(diǎn)的位置，方法是借助圖形作出M關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，延長(zhǎng)M′N(xiāo)與直線AC交于點(diǎn)Q，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到Q位置時(shí)，|PM-PN|最大，同時(shí)要求學(xué)生弄清所求式子取得最大的理論依據(jù)為三角形的兩邊之差小于第三邊．