設n和m為任意正整數(shù),有只棋子叫(n,m)鱷魚,每步橫行n格然后直行m格,或直行n格然后橫行m格.求證在無限大的方格棋盤上,可用黑白兩色涂在方格上,使這棋子每步不是從白格走到黑格,就是從黑格走到白格.
分析:設(n,m)=d,n=ad,m=bd,(a,b)=1,先將棋盤分割成d×d塊,每塊中的d2個方格彼此同色,再以各塊的中心為格點,d為邊長作格點陣(每個格點代表d×d塊),然后對a,b的奇偶進行分類討論,最后根據(jù)奇偶的特性得到起點和終點有不同色.
解答:證明:設(n,m)=d,n=ad,m=bd,(a,b)=1,
先將棋盤分割成d×d塊,每塊中的d2個方格彼此同色,再以各塊的中心為格點,d為邊長作格點陣(每個格點代表d×d塊),
(1)若a,b為一奇一偶,依國際象棋盤方式間隔染色,
即當x+y為偶數(shù)時將(x,y)染黑色,而x+y為奇數(shù)時,將(x,y)染白色,由于a+b為奇數(shù).
故(n,m)每步的起點(x,y)與終點(x±a,y±b)或(x±b,y±a)的坐標和不同奇偶,從而不同色.
(2)若a,b同為奇數(shù),依x的奇偶間隔染色(同一x的整個豎直條同色),
同樣因為每步x與x±a或y±b不同奇偶,從而起點與終點不同色,
故在無限大的方格棋盤上,可用黑白兩色涂在方格上,使這棋子每步不是從白格走到黑格,就是從黑格走到白格.
點評:本題主要考查染色問題的知識點,證明本題的關鍵是對a,b進行奇偶數(shù)分類討論,此題的難度較大,特別是熟練掌握染色的原理.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

有一臺單功能計算器,對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算,其運算過程是:輸入第一個整數(shù)x1,只顯示不運算,接著再輸入整數(shù)x2后則顯示|x1-x2|的結果.比如依次輸入1,2,則輸出的結果是|1-2|=1;此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結果進行求差后再取絕對值的運算.
(1)若小明依次輸入3,4,5,則最后輸出的結果是
4
4
;
(2)若小明將1到2011這2011個整數(shù)隨意地一個一個的輸入,全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m,則m的最大值為
2010
2010
;
(3)若小明將1到n(n≥3)這n個正整數(shù)隨意地一個一個的輸入,全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m.探究m的最小值和最大值.

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科目:初中數(shù)學 來源:新課標教材導學  數(shù)學七年級(第一學期) 題型:044

  四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1一定是一個完全平方數(shù).完全平方數(shù)是這樣一種數(shù):它可以寫成一個正整數(shù)的平方.例如:16是4的平方,81是9的平方.

我們看下面的例子:

  1·2·3·4+1=25(=52);2·3·4·5+1=121(=112);

  3·4·5·6+1=361(=192);

  如果我們設四個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個是n,那么這四個連續(xù)自然數(shù)的積加上1的和可以表示為n(n+1)(n+2)(n+3)+1,它的結果是n2+3n+1的平方,因為n為自然數(shù),所以n2+3n+1也是一個自然數(shù),即:

  n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.①

  學到整式的乘法時,我們還可以證明這個等式成立.

  當n取任意自然數(shù)代入①,不僅可以知道n(n+l)(n+2)(n+3)+1是一個完全平方數(shù),還可以知道它是什么數(shù)的平方.

  你可以算一算:20·21·22·23+1=?,50·51·52·53+1=?

  同學們,根據(jù)同樣的道理,四個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))的積再加上16是一個完全平方數(shù)嗎?請你試一試.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

有一臺單功能計算器,對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算,其運算過程是:輸入第一個整數(shù)x1,只顯示不運算,接著再輸入整數(shù)x2后則顯示|x1-x2|的結果.比如依次輸入1,2,則輸出的結果是|1-2|=1;此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結果進行求差后再取絕對值的運算.
(1)若小明依次輸入3,4,5,則最后輸出的結果是______;
(2)若小明將1到2011這2011個整數(shù)隨意地一個一個的輸入,全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m,則m的最大值為______;
(3)若小明將1到n(n≥3)這n個正整數(shù)隨意地一個一個的輸入,全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m.探究m的最小值和最大值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

有一臺單功能計算器,對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算,其運算過程是:輸入第一個整數(shù),只顯示不運算,接著再輸入整數(shù)后則顯示的結果.比如依次輸入1,2,則輸出的結果是=1;此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結果進行求差后再取絕對值的運算.

(1)若小明依次輸入3,4,5,則最后輸出的結果是_______;

(2)若小明將1到2011這2011個整數(shù)隨意地一個一個的輸入,全部輸入完畢后顯示的

最后結果設為m,則m的最大值為_______;

(3)若小明將1到nn≥3)這n個正整數(shù)隨意地一個一個的輸入,全部輸入完畢后顯示的最后結果設為m. 探究m的最小值和最大值.

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