Question

如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，AB∥OC，過點O作OE⊥AB于點E，交AC于點P，若AB=2，∠AOE=30°，則PE的長度為    ．

Answer 1

【答案】分析：由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AB與OC平行，得到一對內錯角相等，等量代換可得出∠OAC=∠BAC，由OE垂直于AB，利用垂徑定理得到AE=EB，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE中，設PE=x，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2x，由AE的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為PE的長．
解答：解：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C，
∵AB∥OC，
∴∠CAB=∠C，
∴∠OAC=∠BAC，
∵OE⊥AB，∠AOE=30°，
∴AE=BE=AB=1，∠OAE=60°，
∴∠OAC=∠BAC=30°，
在Rt△APE中，設PE=x，則有AP=2x，
根據勾股定理得：AP²=PE²+AE²，即（2x）²=x²+1，
解得：x=或x=-（舍去），
則PE=．
故答案為：
點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，含30°直角三角形的性質，以及等腰三角形的性質與判定，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．