Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F．

（1）求梯形ABCD的面積； 

（2）求四邊形MEFN面積的最大值．

（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H．

∵ AB∥CD， 

∴ DG＝CH，DG∥CH． 

∴ 四邊形DGHC為矩形，GH＝CD＝1． 

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

∴ △AGD≌△BHC（HL）．  

∴ AG＝BH＝＝3．

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， 

∴ DG＝4．                                

∴ ．    

（2）

∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， 

∴ ME＝NF，ME∥NF． 

∴ 四邊形MEFN為矩形． 

∵ AB∥CD，AD＝BC，   

∴ ∠A＝∠B． 

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，    

∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF．          

設AE＝x，則EF＝7－2x．   

∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，   

∴ △MEA∽△DGA．

∴ ．

∴ ME＝．

∴ ．

當x＝時，ME＝＜4，∴四邊形MEFN面積的最大值為．

（3）能．

由（2）可知，設AE＝x，則EF＝7－2x，ME＝． 

若四邊形MEFN為正方形，則ME＝EF． 

    即 7－2x．解，得 ．

∴ EF＝＜4． 

∴ 四邊形MEFN能為正方形，其面積為．