Question

如圖，在菱形ABCD中，過(guò)A作AE⊥BC于E，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，已知cosB=，EC=8，則線(xiàn)段PE的長(zhǎng)度最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)BE=x，易知BC=x+8，利用菱形的性質(zhì)可知AB=BC=x+8，在Rt△ABE中，結(jié)合cosB=以及余弦的計(jì)算可得x=×（x+8），易求x，據(jù)圖可知點(diǎn)E到線(xiàn)段AB的最小距離應(yīng)該是過(guò)E作AB的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，再過(guò)E作EP⊥AB于P，在Rt△BPE中，再利用三角函數(shù)可求PE．
解答：解：設(shè)BE=x，那么BC=x+8，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=x+8，
又∵cosB=，AE⊥BC，
∴BE=cosB•AB，
即x=×（x+8），
解得x=5，
點(diǎn)E到線(xiàn)段AB的最小距離應(yīng)該是過(guò)E作AB的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，
那么，先過(guò)E作EP⊥AB于P，
在Rt△BPE中，PE=•BE=×5=．
故答案是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線(xiàn)段最短．解題的關(guān)鍵是求出BE的長(zhǎng)，注意sinB=．