Question

4．如圖，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，半徑OA=4，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由OB=OD得出∠B=∠ODB．根據(jù)AB=AC得出∠B=∠C．故可得出∠ODB=∠C，所以O(shè)D∥AC．由DF⊥AC，得出OD⊥DF，故可得出結(jié)論；
（2）連結(jié)BE，AD，根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，∠AEB=90°．再由AB=AC，可知∠ABC=∠C，BD=CD．在Rt△ABD 中，利用銳角三角函數(shù)的定義得出AD及BD的長(zhǎng)，同理可得出BE的長(zhǎng)，由勾股定理求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF．
∴DF是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)BE，AD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，BD=CD．
在Rt△ABD 中，
∵OA=4，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AD}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{13}$，
∴BC=4$\sqrt{13}$．
在Rt△BCE 中，
∵sinC=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即$\frac{BE}{4\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴BE=$\sqrt{39}$，
∴CE=$\sqrt{{BC}^{2}-{BE}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{13}）}^{2}-{（\sqrt{39}）}^{2}}$=13，
∴AE=CE-AC=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．