Question

（2010•濱州）如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說(shuō)明為什么；
（2）若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，利用中位線(xiàn)定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）由于四邊形EFGH為正方形，那么它的鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線(xiàn)定理可以推出四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)應(yīng)該互相垂直且相等．
解答：解：（1）如圖，四邊形EFGH是平行四邊形．
連接AC，BD，
∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=AC
同理HG∥AC，
∴EF∥HG，EF=HG
∴EFGH是平行四邊形；

（2）四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)垂直且相等．
∵四邊形EFGH為正方形，
∴EH⊥EF，EH=EF，
∵E、H、F分別是AB、DA、BC的中點(diǎn)，
∴EH=BD，EF=AC，
∴BD=AC，
∵EH為三角形ABD的中位線(xiàn)，
∴EH∥BD，
∴∠HEF=∠ENM=90°，
∵EF為三角形ABC的中位線(xiàn)，
∴EF∥AC，
∴∠AMN=90°，
∴AC⊥BD，
∴ABCD的對(duì)角線(xiàn)應(yīng)該互相垂直且相等．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理，及平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)．