Question

（2004•龍巖）如圖，已知拋物線C：y=-x²+x+3與x軸交于點A、B兩點，過定點的直線l：y=x-2（a≠0）交x軸于點Q．
（1）求證：不論a取何實數(shù)（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個交點；
（2）寫出點A、B的坐標(biāo)：A（______）、B（______）及點Q的坐標(biāo)：Q（______）（用含a的代數(shù)式表示）；并依點Q坐標(biāo)的變化確定：當(dāng)______時（填上a的取值范圍），直線l與拋物線C在第一象限內(nèi)有交點；
（3）設(shè)直線l與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點為P，是否存在這樣的點P，使得∠APB=90°？若存在，求出此時a的值；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證：不論a取何實數(shù)（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個交點，就是求兩個函數(shù)解析式組成的方程組有兩個解，即利用代入法得到一個一元二次方程，可以根據(jù)根的判別式得到a的不等式，就可以求a的范圍；
（2）拋物線y=-x²+x+3中令y=0，就可以求出與x軸的交點，得到點A、B兩點的坐標(biāo)．在直線l：y=x-2（a≠0）中令y=0，解得x=2a，就可以求出Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)存在滿足條件的點P（x，y）（x＞0，y＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，作PN⊥AB于N，易得△APN∽△PBN，得到PN²=AN•BN，就可以得到關(guān)于AN，BN的方程，再根據(jù)P（x，y）在函數(shù)的圖象上，就可以得到關(guān)于AN、BN的方程，解這兩個方程組成的方程組，就可以求出P的坐標(biāo)．
解答：（1）證明：由消去y，得x²-（-1）x-10=0
∵△=（-1）²+40＞0（2分）
∴不論a（a≠0）取何實數(shù)，方程組有兩組不同的實數(shù)解，
故不論a（a≠0）取何實數(shù)，
拋物線C與直線l總有兩個交點；（3分）

（2）解：A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）（每點坐標(biāo)（1分），共6分）
（寫成a＞0或a＜只能給1分）；（8分）

（3）解：一、設(shè)存在滿足條件的點P（x，y）（x＞0，y＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，
作PN⊥AB于N，則AN=x+2，BN=3-x，PN=y
∵∠APB=90°，PN⊥AB，則△APN∽△PBN．
∴PN²=AN•BN，
則有y²=（x+2）（3-x）
即y²=-x²+x+6①（11分）
∵點P（x，y）在拋物線C上
∴
即2y=-x²+x+6
由①、②可得y²=2y（y＞0）
∴y=2（13分）
把y=2代入②，得x=2或-1，
∴x＞0
∴x＞2
把x=2，y=2代入，
得
∴存在滿足條件的P點，此時．（14分）
二、設(shè)存在滿足條件的點P（x，y），連PA、PB，使∠APB=90°
在Rt△APB中，斜邊的中點，過點P作PN⊥AB，垂足為N，N的坐標(biāo)為（x，0），連接PM，由Rt△PMN，得MN²+PN²=PM²
∴（x-）²+y²=
由
整理，得
③-④得，y²=2y．
三、設(shè)存在滿足條件的點P（x，y），連PA、PB，使∠APB=90°
過點P作PN⊥AB，垂足為N，根據(jù)勾股定理得AP²+PB²=AB²=AN²+NP²+NP²+NB²=25
即（x+2）²+y²+y²+（3-x）²=25
整理得x²-x-6+y²=0
解方程組：
得：y=0或y=2．
所以x=3、-2、，
所以a=（舍去），或a=-1（舍去），a=（負(fù)值舍去）．
點評：本題主要考查了利用韋達(dá)定理判斷兩個二元二次方程組成的解的個數(shù)．并且利用了相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比相等．