Question

如圖，線段AB的兩個端點(diǎn)都在函數(shù)y=

3

x

（x＞0）的圖象上，AC、BD分別垂直O(jiān)X于點(diǎn)C、D．且CD=2，設(shè)線段CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（a，0）．
（1）用a表示C、D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)梯形ACDB的面積為

4 3

3

時，求a的值；
（3）如果線段CD上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形易知C（a-1，0），D（a+1，0）；
（2）用a表示A、B縱坐標(biāo)，即是梯形兩個底，根據(jù)面積公式得方程求解；
（3）當(dāng)以AB為直徑的圓與X軸有交點(diǎn)時就是存在P滿足條件，所以當(dāng)

1

2

AB≥梯形中位線長時滿足條件．用含a的代數(shù)式分別表示上述線段，解不等式求解．

解答：解：（1）∵CD=2，M是CD的中點(diǎn)，∴CM=MD=1，∴OC=a-1，OD=a+1，C（a-1，0），D（a+1，0）；

（2）當(dāng)x=a-1時，y=

3

a-1

，∴A（a-1，

3

a-1

），
當(dāng)x=a+1時，y=

3

a+1

，∴B（a+1，

3

a+1

），
S_梯形ACDB=

1

2

（

3

a+1

+

3

a-1

）×2=

4 3

3

，
解得a₁=2，a₂=-

1

2

（不合題意，舍去），
∴a=2；

（3）AB=

(AC-BD)2+CD2

=

( 3 a-1 - 3 a+1 )2+4

，中位線=

1

2

（

3

a-1

+

3

a+1

），
當(dāng)

1

2

AB=中位線時，有（

3

a-1

-

3

a+1

）²+4=（

3

a-1

+

3

a+1

）²，解得a=±2，根據(jù)題意a=2，
當(dāng)

1

2

AB＞中位線時，a＞2，
∴a的取值范圍是a≥2．

點(diǎn)評：此題將函數(shù)與圓的知識綜合起來，難度較大．需同時考慮到直徑所對的圓周角是直角及直線與圓的位置關(guān)系等知識．