【題目】如圖,等腰三角形的一邊軸的正半軸上,點的坐標為 ,動點從原點出發(fā),在線段上以每秒2個單位的速度向點勻速運動,動點從原點出發(fā),沿軸的正半軸以每秒1個單位的速度向上勻速運動,過點軸的平行線分別交,設動點,同時出發(fā),當點到達點時,點也停止運動,他們運動的時間為

1)點的坐標為_____,的坐標為____;

2)當為何值時,四邊形為平行四邊形;

3)是否存在某一時刻,使為直角三角形?若存在,請求出此時的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1)(t,t),(10-t,t);(2)當t時,四邊形POEF是平行四邊形;(3t=4時,使△PEF為直角三角形.

【解析】

1)過點AADOB,由點A的坐標為(6,8),可得OD=6,AD=8,然后由勾股定理得:OA=10,由OA=OB可得:OB=10,進而可得:BD=4,進而可得點B的坐標為:(10,0),然后設OA的關系式:y=kx,然后將A6,8)代入即可得直線OA的關系式,然后設直線AB的關系式為:y=kx+b,然后將AB兩點代入,即可確定直線AB的關系式,由過點Qx軸的平行線分別交OAABEF,可知點Q、EF三點的縱坐標相等均為t,然后由點EOA上,點FAB上,將點EF的縱坐標分別代入對應的關系式,即可得到得到點E、F的坐標;
2)由EFOP,欲使四邊形POEF是平行四邊形,只需EF=OP即可,從而可得關于t的等式,解答即可;
3)分三種情況討論:①PEEF,②PEPF,③EFPF即可.

解:(1)過點AADOB,垂足為D,如圖1,

∵點A的坐標為(6,8),
OD=6,AD=8,
由勾股定理得:OA=10
OA=OB,
OB=10,
BD=4
∴點B的坐標為:(10,0),
設直線OA的關系式:y=kx
A6,8)代入上式,得:
6k=8
解得:k=,
所以直線OA的關系式:y=x,
設直線AB的關系式為:y=kx+b,
A,B兩點代入上式得:
,
解得: ,
所以直線AB的關系式為:y=-2x+20,
∵過點Qx軸的平行線分別交OA,ABE,F,
∴點QE、F三點的縱坐標相等,
∵動點Q從原點O出發(fā),沿y軸的正半軸以每秒1個單位的速度向上勻速運動,
動點P從原點O出發(fā),在線段OB上以每秒2個單位的速度向點B勻速運動,
t秒后,OQ=tOP=2t,
Q、EF三點的縱坐標均為t
將點E的縱坐標t代入y=x,得:x=t,
E點的坐標為:(t,t),
將點E的縱坐標t代入y=-2x+20,得:x=10-t,
F點的坐標為:(10-t,t),
故答案為:(t,t),(10-t,t);
2)由(1)知:Ett),F10-tt),
EF=10-t-t=10-t
∵四邊形POEF是平行四邊形,
EFOP,且EF=OP,
10-t=2t,
解得:t=,
∴當t時,四邊形POEF是平行四邊形;
3)過點EEMOB,垂足為M,過點FFNOB,垂足為N,
可得四邊形EMNF是矩形,如圖2,

①當PEPF時,PE2+PF2=EF2,
由(1)知:OM=t,EM=FN=tON=10-t,EF=10-t,
PM=tPN=10-t,
PE2=ME2+MP2,PF2=PN2+FN2,
t2+t2+10-t2+t2=10-t2,
解得:t1=0(舍去),t2=;
②當PEEF時,如圖3,可得四邊形EPNF是矩形,

∵四邊形EPNF是矩形,
EF=PN,
即:EF=ON-OP
10-t=10-t-2t,
解得t=0(舍去);
③當EFPF時,如圖4,可得四邊形EMPF是矩形,

∵四邊形EMPF是矩形,
EF=MP
EF=OP-OM,
10-t=2t-t,
解得:t=4,
∴當t=4時,使△PEF為直角三角形.

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