Question

（2010•大田縣）已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）和點(diǎn)C（0，8），且它的對稱軸是直線x=-2．
（1）求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）連接AC，BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A，點(diǎn)B）不重合，過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道對稱軸了和x軸上另一點(diǎn)，就能求出該點(diǎn)．
（2）知道兩點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸就能求出拋物線的解析式．
（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，由題意可知△BEF∽△BAC，求出EF，過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂是為G，則sin∠FEG=sin∠CAB，進(jìn)而求出FG，由S=S_△BCE-S_△BFE，進(jìn)而求得S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）由S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，求得S的最大值，算出點(diǎn)E坐標(biāo)，判斷三角形的形狀．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=-2，
∴由對稱性可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，0）；

（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上
∴c=8．
將A（-6，0），B（2，0）代入表達(dá)式得
，
解得．
故所求解析式為y=-x²-x+8．

（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即EF=，
過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂是為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=，
∴=，
∴FG=×=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE．
=（8-m）×8-（8-m）（8-m），
=-m²+4m，

（4）存在．理由如下：
∵S=-m²+4m=-（m-4）²+8且-＜0，
∴當(dāng)m=4時，S有最大值，S最大值=8，
∵m=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到求拋物線的表達(dá)式和求最值等知識點(diǎn)，題不是很難，但要注意細(xì)節(jié)．