Question

已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖1，若AB=BC=AC，則AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系是什么；
（2）如圖2，若AB=BC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想，并加以證明；
（3）如圖3，若AB=kBC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想不用證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）中所給的是最特殊的一種情況，但對(duì)整個(gè)題來(lái)說(shuō)，要從（1）中找到基本的解題思路，此題難的是構(gòu)造全等三角形，從而證明線段相等．雖然（1）中沒(méi)有要求步驟，但能正確的解出（1）可以給（2）和（3）定一個(gè)基調(diào)；
（2）是將（1）中的等邊三角形變?yōu)榈妊�三角形，但起關(guān)鍵作用的條件沒(méi)變，任然可以仿照（1）中的方法去做；
（3）中將三角形變?yōu)楦�一般的三角形，但和�?）比較起來(lái)還是有兩個(gè)條件沒(méi)變，而利用這兩個(gè)條件能證明兩個(gè)三角形相似，從而利用相似的對(duì)應(yīng)邊成比例得出結(jié)論．
解答：解：（1）AE=EF；
證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交AC于點(diǎn)H．
則∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD∥BC，
∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；


（2）猜想：（1）中的結(jié)論是沒(méi)有發(fā)生變化．
證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交AC于點(diǎn)H，則∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB，
∴EH=EC
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D，
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的結(jié)論發(fā)生變化．
證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交AC于點(diǎn)H．
由（2）可得∠EAC=∠EFC，
∵AD∥BC，∠BAC=∠D，
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC，
∵EH∥AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC=AB：BC=k，
∴AE：EF=k，
∴AE=kEF．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了全等三角形的判定．本題三問(wèn)由特殊到一般，注意比較它們之間的異同，關(guān)鍵抓住不變量，從而得出結(jié)論．本題難度很大．