Question

已知四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過(guò)P作MN∥AD，EF∥CD，分別交AB、CD、AD、BC于點(diǎn)M、N、E、F，設(shè)＝PM?PE，＝PN?PF，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，見(jiàn)圖1，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A為銳角時(shí)，見(jiàn)圖2，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，設(shè)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1） ∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD

∴四邊形PEAM、PNCF也均為矩形

∴＝PM?PE＝，＝PN?PF＝

又∵BD是對(duì)角線

∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC

∵，

∴＝

∴

（2）成立，理由如下：

∵ABCD是平行四邊形，MN∥AD，EF∥CD

∴四邊形PEAM、PNCF也均為平行四邊形

仿（1）可證

過(guò)E作EH⊥MN于點(diǎn)H，則；

 

∴

同理可得

又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A

∴

∴PM?PE＝PN?PF，即

（3）方法1：存在，理由如下：

由（2）可知，

 ∴

又∵，即，

而，

∴

即

∴，

故存在實(shí)數(shù)或，使得

方法2：存在，理由如下：

連結(jié)AP，設(shè)△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面積分別為、、、，

即，

即    ∴

∴

即

∴

∴，

故存在實(shí)數(shù)或，使得