Question

如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為________．

Answer 1

10.5
分析：由點E、F分別是AC、BC的中點，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=AB=3.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以當GH取最大值時，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長的弦，故當GH為⊙O的直徑時，GE+FH有最大值14-3.5=10.5．
解答：如圖，當GH為⊙O的直徑時，GE+FH有最大值．
∵⊙O的半徑為7，
∴GH=14．
∵點E、F分別是AC、BC的中點，
∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．
故答案為10.5．
點評：本題結(jié)合動點考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．