Question

如圖，已知拋物線y=x²﹣x﹣3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．

（1）直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣x﹣3，∴當(dāng)y=0時(shí)，x²﹣x﹣3=0，

解得x₁=﹣2，x₂=4．當(dāng)x=0，y=﹣3．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）；

（2）∵y=x²﹣x﹣3，∴對(duì)稱軸為直線x==1．

∵AD在x軸上，點(diǎn)M在拋物線上，

∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況：

①點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）；

②點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3．當(dāng)y=4時(shí)，x²﹣x﹣3=3，解得x₁=1+，x₂=1﹣，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，3）或（1﹣，3）．

綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）結(jié)論：存在．

如圖所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：

①若BC∥AP₁，此時(shí)梯形為ABCP₁．

由點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，可知BC∥x軸，則P₁與D點(diǎn)重合，

∴P₁（﹣2，0）．∵P₁A=6，BC=2，∴P₁A≠BC，∴四邊形ABCP₁為梯形；

②若AB∥CP₂，此時(shí)梯形為ABCP₂．

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，

∴可設(shè)直線CP₂的解析式為y=x+n，將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得b=﹣3，

∴直線CP₂的解析式為y=x﹣3．∵點(diǎn)P₂在拋物線y=x²﹣x﹣3上，

∴x²﹣x﹣3=x﹣3，化簡(jiǎn)得：x²﹣6x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=6，

∴點(diǎn)P₂橫坐標(biāo)為6，代入直線CP₂解析式求得縱坐標(biāo)為6，∴P₂（6，6）．

∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，∴四邊形ABCP₂為梯形．

綜上所述，在拋物線上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（6，6）．