Question

（2009•鄂州）如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點(diǎn)O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長(zhǎng)BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．
（1）試比較EO、EC的大小，并說(shuō)明理由；
（2）令m=，請(qǐng)問(wèn)m是否為定值？若是，請(qǐng)求出m的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若CO=1，CE=，Q為AE上一點(diǎn)且QF=，拋物線(xiàn)y=mx²+bx+c經(jīng)過(guò)C、Q兩點(diǎn)，請(qǐng)求出此拋物線(xiàn)的解析式；
（4）在（3）的條件下，若拋物線(xiàn)y=mx²+bx+c與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P，試問(wèn)在直線(xiàn)BC上是否存在點(diǎn)K，使得以P、B、K為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似？若存在，請(qǐng)求直線(xiàn)KP與y軸的交點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的條件得到EO=EF，在直角△CEF中，斜邊大于直角邊，因而EF＞EC故EO＞EC
（2）四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積可以用直角△CEF的面積，可以證明四邊形CFGH與四邊形CNMO的面積相等．因而就可以求出m的值．
（3）已知OC=1，可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），易證△EFQ是等邊三角形，已知QF=就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，把C，Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)y=mx²+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函數(shù)的解析式．
（4）過(guò)Q作y軸的垂線(xiàn)，已知E，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可以根據(jù)三角形相似，求出OA的長(zhǎng)，就可以求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
若△PBK與△AEF相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐標(biāo)．
解答：解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折疊知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF為斜邊，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．

（2）m為定值，理由如下：
∵S_{四邊形CFGH}=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S_{四邊形CMNO}=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴．

（3）∵CO=1，，
∴EF=EO=，
∴cos∠FEC=，
∴∠FEC=60°，
∴，
∴△EFQ為等邊三角形，．
作QI⊥EO于I，EI=，IQ=，
∴IO=，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為．
∵拋物線(xiàn)y=mx²+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，1），Q，m=1，
∴可求得，c=1，
∴拋物線(xiàn)解析式為．

（4）由（3），，
當(dāng)時(shí)，＜AB，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴BP=AO．
方法1：若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下：
①時(shí)，BK=，
∴K點(diǎn)坐標(biāo)為或；
②時(shí)，，
∴K點(diǎn)坐標(biāo)為或（0，1）．
故直線(xiàn)KP與y軸交點(diǎn)T的坐標(biāo)為．
方法2：若△BPK與△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
過(guò)P作PR⊥y軸于R，則∠RTP=60°或30°．
①當(dāng)∠RTP=30°時(shí)，，
②當(dāng)∠RTP=60°時(shí)，，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．