Question

在平面直角坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H.

（1）直接填寫：=         ，b=         ，頂點C的坐標為         ；

（2）在軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標.

Answer 1

解：（1），頂點C的坐標為（-1，4）

（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D,  過點C作CE⊥y軸于點E.

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°.  又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1.  又∵∠CED=∠DOA =90°，

∴△CED ∽△DOA，∴.

設D（0，c），則.

變形得，解之得.

綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形.

（3）①若點P在對稱軸右側(cè)（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.

延長CP交x軸于M，∴AM=CM，  ∴AM²=CM².

設M（m，0），則( m+3)²=4²+(m+1)²，∴m=2，即M（2，0）.

設直線CM的解析式為y=k₁x+b₁，

則， 解之得，.

∴直線CM的解析式.

聯(lián)立，解之得或(舍去).∴.

 ②若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.

過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N.

      由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得.

      ∴, 點F坐標為（-5,1）.

設直線CF的解析式為y=k₂x+b₂，則，解之得.

∴直線CF的解析式.

聯(lián)立 ，解之得 或  (舍去).  ∴.

∴滿足條件的點P坐標為或