Question

在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．

（1）如圖1，當(dāng)點C₁在線段CA的延長線上時，求∠CC₁A₁的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P₁，求線段EP₁長度的最大值與最小值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，

∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，..…（2分）

∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．…（3分）

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，

∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，

∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，

∴∠ABA₁=∠CBC₁，

∴△ABA₁∽△CBC₁．…（5分）

∴，

∵S_△ABA1=4，

∴S_△CBC1=；…（7分）

（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，…（8分）

①如圖1，當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁﹣BE=BD﹣BE=﹣2；…（9分）

②當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+AE=2+5=7．…（10分）