Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，連接AC，BD交于點O，設(shè)△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．

（1）求證：S₂=S₄；

（2）設(shè)AD=m，BC=n，， =，根據(jù)上述條件，判斷S₁+S₃與S₂+S₄的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【考點】面積及等積變換．

【分析】（1）過A、D分別作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等得到S_△ABC=S_△DBC，證明結(jié)論；

（2）根據(jù)題意用S₁分別表示S₂、S₃，利用求差法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

【解答】證明：（1）過A、D分別作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，

∵AD∥BC，

∴AE=DF，

∴S_△ABC=S_△DBC，

∴S_△ABC﹣S_△OBC=S_△DBC﹣S_△OBC，即S_△ABO=S_△DCO，

∴S₂=S₄；

（2）∵，

∴S₂=S₁，

∵=，

∴S₃=S₁，

∴S₃+S₁=S₁，

∵S₂=S₄，

∴S₂+S₄=S₁，

∴（S₁+S₃）﹣（S₂+S₄）=S₁﹣S₁=S₁，

當(dāng)m=n時， =0，

S₁+S₃=S₂+S₄，

當(dāng)m≠n時，＞0，

（S₁+S₃）﹣（S₂+S₄）＞0，

（S₁+S₃）＞（S₂+S₄）．

【點評】本題考查的是面積及等積變換，掌握等底等高的兩個三角形面積相等、相似三角形的面積比等于相似比的平方以及等量代換是解題的關(guān)鍵．