Question

如圖，在矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB、CD的延長線分別交于E、F.

（1）求證：△BOE≌△DOF；

（2）當EF與AC滿足____▲_____關(guān)系時，以A、E、C、F為頂點的四邊形是菱形.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）EF⊥AC

【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB=OD（矩形的對角線互相平分），

AE∥CF（矩形的對邊平行）．

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）．（4分）

（2）解：當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．（5分）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC（矩形的對角線互相平分）．

又由（1）△BOE≌△DOF得，

OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（6分）

又EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．（8分）

（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；

（2）根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形求證