Question

14．關(guān)于x的方程：x+$\frac{1}{x}$=c+$\frac{1}{c}$的解為x=c，x=$\frac{-1}{c}$；
x+$\frac{1}{x}$=c+$\frac{1}{c}$的解為x=c或x=$\frac{1}{c}$；
x+$\frac{2}{x}$=c+$\frac{2}{c}$的解為x=c，x=$\frac{2}{c}$；
x+$\frac{3}{x}$=c+$\frac{3}{c}$的解為x=c，x=$\frac{3}{c}$；
…
根據(jù)材料解決下列問題：
（1）方程x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$的解是x=2，x=$\frac{1}{2}$；
（2）猜想方程x+$\frac{m}{c}$=c+$\frac{m}{c}$（m≠0）的解，并將所得的解代入方程中檢驗(yàn)；
（2）由上述的觀察、比較、猜想、驗(yàn)證，可以得出結(jié)論：如果方程的左邊是未知數(shù)與其倒數(shù)的倍數(shù)的和，方程右邊的形式與左邊完全相同，只有把其中的未知數(shù)換成某個(gè)常數(shù)，那么這樣的方程可以直接得解．
請用這個(gè)結(jié)論解關(guān)于x的方程：x+$\frac{2}{x-1}$=a+$\frac{2}{a-1}$．

Answer 1

分析 （1）由x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$可得x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$，根據(jù)題意可得；
（2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判斷能否是方程兩邊相等即可；
（3）先將原方程轉(zhuǎn)化為：x-1+$\frac{2}{x-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$的形式，然后得到：x-1=a-1和x-1=$\frac{2}{a-1}$，然后解得即可．

解答 解：（1）由x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$可得x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$，
∴該方程的解為：x=2或x=$\frac{1}{2}$；

（2）方程x+$\frac{m}{x}$=c+$\frac{m}{c}$（m≠0）的解為：x=c或x=$\frac{m}{c}$，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=c時(shí)，左邊=c+$\frac{m}{c}$=右邊，故x=c是方程的解，
當(dāng)x=$\frac{m}{c}$時(shí)，左邊=$\frac{m}{c}$+$\frac{m}{\frac{m}{c}}$=$\frac{m}{c}+c$=右邊，故x=$\frac{m}{c}$也是方程的解；

（3）原方程x+$\frac{2}{x-1}$=a+$\frac{2}{a-1}$可化為：
x-1+$\frac{2}{x-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$
所以x-1=a-1或x-1=$\frac{2}{a-1}$，
解得：x=a或x=$\frac{a+1}{a-1}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=a或x=$\frac{a+1}{a-1}$是原方程的解，
故答案為：（1）x=2或x=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了分式方程的解，解題的關(guān)鍵是：將方程轉(zhuǎn)化為：x+$\frac{1}{x}$=c+$\frac{1}{c}$的形式．