Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，

 

 

 

 

 

 

1.求證：四邊形CFDE是正方形

2.若AC＝3，BC＝4，求△ABC的內(nèi)切圓半徑.

 

Answer 1

【答案】

 

1.過D作DG⊥AB交AB于G點(diǎn)，

∵AD是∠BAC的角平分線

∴∠FAD=∠BAD

∵DF⊥AC,DG⊥AB

∴∠AFD=∠AGD=90°

∵AD=AD

∴△AFD≌△AGD

∴DF=DG

同理可證DE=DG

∴DE=DF

∵∠C=∠CFD=∠CED=90°

∴四邊形CFDE是正方形.    （5分）

2.∵AC＝3，BC＝4

∴AB=5

由（1）知AF=AG,BE=BG

∴AF+BE=AB

∵四邊形CFDE是正方形∴2CE=AC+CB-AB=2，即CE=1

△ABC的內(nèi)切圓半徑為1.       （10分）

【解析】（1）利用角平分線的性質(zhì)證明出FD=ED，然后利用三個(gè)垂直證明四邊形CFDE是正方形；

         （2）考查勾股定理和內(nèi)切圓的圓心是解平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)來求解。