Question

如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形，
（1）如圖1，連接AG、CE，試判斷AG和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；
（2）將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角（0°＜β＜180°），如圖2，連接AG、CE相交于點(diǎn)M，連接MB，當(dāng)角β發(fā)生變化時(shí)，∠EMB的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變化，求出∠EMB的度數(shù)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥MB交MB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CM與BN的數(shù)量關(guān)系：______．

Answer 1

解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由為：
∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，
，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延長(zhǎng)CE交AG于點(diǎn)M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度數(shù)不發(fā)生變化，∠EMB的度數(shù)為45°理由為：
過(guò)B作BP⊥EC，BH⊥AM，
在△ABG和△CEB中，
，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴S_△ABG=S_△EBC，AG=EC，
∴EC•BP=AG•BH，
∴BP=BH，
∴MB為∠EMG的平分線(xiàn)，
∵∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠EMB=∠EMG=×90°=45°；

（3）CM=BN，理由為：在NA上截取NQ=NB，連接BQ，
∴△BNQ為等腰直角三角形，即BQ=BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN為等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，
，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
則CM=BN．
故答案為：CM=BN
分析：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由為：由正方形BEFG與正方形ABCD，利用正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)直角相等，利用SAS得出三角形ABG與三角形CBE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得證；
（2）∠EMB的度數(shù)為45°，理由為：過(guò)B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG與三角形BEC全等，由全等三角形的面積相等得到兩三角形面積相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上得到BM為角平分線(xiàn)，再由∠BAG=∠BCE，及一對(duì)對(duì)頂角相等，得到∠AMC為直角，即∠AME為直角，利用角平分線(xiàn)定義即可得證；
（3）CM=BN，在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到BQ=BN，接下來(lái)證明BQ=CM，即要證明三角形ABQ與三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由三角形ANM為等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性質(zhì)得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．