Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交x軸于點(diǎn)H（3，0），AD平行GC交y軸于點(diǎn)D．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證：四邊形ACHD是正方形；

（3）如圖2，點(diǎn)M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)N．

①若四邊形ADCM的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出t的取值范圍；

②若△CMN的面積等于，請(qǐng)求出此時(shí)①中S的值．

 

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），

∴

解得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x²﹣2x+3．

（2）如圖1，

，

∵二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x²﹣2x+3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（﹣1，4），

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴設(shè)CG所在的直線的解析式是y=mx+3，

則﹣m+3=4，

∴m=﹣1，

∴CG所在的直線的解析式是y=﹣x+3，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（3，0），

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，p），

則，

∴p=﹣3，

∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，

∴四邊形ACHD是正方形．

（3）①如圖2，作ME⊥x軸于點(diǎn)E，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，

，

∵四邊形ADCM的面積為S，

∴S=S_{四邊形AOCM}+S_△AOD，

∵AO=OD=3，

∴S_△AOD=3×3÷2=4.5，

∵點(diǎn)M（t，p）是y=kx與y=﹣x²﹣2x+3在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（t，﹣t²﹣2t+3），

∵M(jìn)E=﹣t²﹣2t+3，MF=﹣t，

∴S_{四邊形AOCM}=×3×（﹣t²﹣2t+3）=﹣t²﹣t+，

∴S=﹣t²﹣t++4.5=﹣t²﹣t+9，﹣3＜t＜0．

②如圖3，作NI⊥x軸于點(diǎn)I，

，

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（t₁，p₁），

則NI=|t₁|，

∴S_△CMN=S_△COM+S_△CON=（|t|+|t₁|），

∵t＜0，t₁＞0，

∴S_△CMN=（|t|+|t₁|）==，

，

聯(lián)立

可得x²﹣（k+2）x﹣3=0，

∵t₁、t是方程的兩個(gè)根，

∴

∴=﹣4t₁t=（k+2）²﹣4×（﹣3）==，

解得，，

a、k=﹣時(shí)，

由x²+（2﹣）x﹣3=0，

解得x₁=﹣2，或（舍去）．

b、k=﹣時(shí)，

由x²+（2﹣）x﹣3=0，

解得x₃=﹣，或x₄=2（舍去），

∴t=﹣2，或t=﹣，

t=﹣2時(shí)，

S=﹣t²﹣t+9

=﹣×4﹣×（﹣2）+9

=12

t=﹣時(shí)，

S=﹣×﹣×+9

=，

∴S的值是12或．