Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．

(1)判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由；(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）DE與⊙O相切，理由見解析(2)

【解析】解：（1）DE與⊙O相切。理由如下：

連接OD，BD，

∵AB是直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°。

∵E是BC的中點，∴DE＝BE＝CE。

∴∠EDB＝∠EBD。

∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB。

∴∠EDO＝∠EBO＝90°�！郉E與⊙O相切。

（2）∵tanC＝，∴可設BD＝x，CD＝2x。

∵在Rt△BCD中，BC＝2DE＝4，BD²＋CD²＝BC²

∴(x)²＋(2x)²＝16，解得：x＝ (負值舍去)。

∴BD＝x＝。

∵∠ABD＝∠C，∴tan∠ABD＝tanC。

∴AD＝BD＝。

答：AD的長是。

（1）連接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可。

（2）由tanC＝可設BD＝x，CD＝2x，在Rt△BCD中，由勾股定理求出x，從而求出BD，根據(jù)tan∠ABD＝tanC求出AD＝BD，代入求出即可。