Question

如圖，在梯形ABCD中，AB=2，AD=4，BC=6，將梯形折疊，使B落在邊AD上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC（含端點(diǎn)）交于F，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形△BEF稱為梯形ABCD的“折痕三角形”．
（1）在梯形ABCD，當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）在梯形ABCD中是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在，為什么？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)E在AD的中點(diǎn)時(shí)求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)連接BE，畫BE的中垂線交BC與點(diǎn)F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個(gè)折痕三角形．根據(jù)折痕垂直平分BE，AB=AE=2，故可得出點(diǎn)A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過點(diǎn)A，所以四邊形ABFE為正方形，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由于△EOF的高是定值，所有OF越長折痕△BEF的面積越大，所以當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)△BEF的面積最大；設(shè)E（x，2），則M（

x

2

，1），由折疊的性質(zhì)可知直線MF是線段BE的垂直平分線，故兩直線斜率的積等于-1，由此即可得出x的值，進(jìn)而得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1所示，連接BE，畫BE的中垂線交BC與點(diǎn)F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個(gè)折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴點(diǎn)A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過點(diǎn)A．
∴四邊形ABFE為正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．


（2）存在．
∵△BEF的高是定值，
∴OF越長折痕△BEF的面積越大，
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)△BEF的面積最大，
∴S_△BEF=

1

2

OB×OC=

1

2

×6×2=6．
如圖2所示：
設(shè)E（x，2），則M（

x

2

，1）
∵M(jìn)F是線段BE的垂直平分線，F(xiàn)（6，0），
∵互為垂直的兩條直線的斜率的積等于-1，E（x，2），O（0，0），M（

x

2

，1），F(xiàn)（6，0）
∴

2

x

•

1

x 2 -6

=-1，解得x=6-4

2

或x=6+4

2

（舍去），
∴E（6-4

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到圖形的反折變換、正方形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度適中．