Question

如圖，拋物線y=x²mx+m²（m＞0）與x軸相交于A、B兩點，點H是拋物線的頂點，以AB為直徑作⊙G交y軸于E、F兩點，EF=．
（1）求m的值和⊙G的半徑R；
（2）連接AH，求線段AH的長度；
（3）問：射線GH上是否存在一點P，使以點P為圓心作圓，能與直線AH和⊙G同時相切？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）x²mx+m²=0，
∴x²+mx-2m²=0，
∵m＞0，
∴A（-2m，0），B（m，0），
∴AB=3m，⊙G的半徑R=，
∴OB=m，BG=m，
∴OG=m，
∴G（，0），
∵EF⊥x軸，AB為直徑，EF=4，
∴EO=2，
連接GE，在Rt△GEO中，由勾股定理得GE²=GO²+EO²
解得m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，R=3．

（2）∵m=2，
∴，
∴H（-1，4）
又∵A（-4，0），
∴．

（3）設(shè)⊙P的半徑為R'，P點的坐標(biāo)為（-1，k），
由題意可知，當(dāng)k＞4時，不符合題意，
所以0＜k＜4．
因為⊙P與直線AH相切，過點P作PM⊥AH，垂足為點M，PM=r_P
∴HP=4-k，R'=HP•sin∠AHG=，
①當(dāng)⊙P與⊙G內(nèi)切時，3-R'=k，
∴，
∴
②當(dāng)⊙P與⊙G外切，3+R'=k
∴，
∴（2所以滿足條件的P點有：，．分）
分析：（1）連接GE，在Rt△GEO中，將GE、GO和EO的長用m表示出來，再由勾股定理得GE²=GO²+EO²即可求解．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可以得出H點的坐標(biāo)，繼而得出AH的長；
（3）假設(shè)存在這樣的點，再直線AH和⊙G同時相的條件進行求解即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的知識，難度較大，基于二次函數(shù)的綜合題是中考中常見的問題，要注意各部分知識的綜合利用，對這類綜合題要善于總結(jié)其思路與方法．