Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為48cm，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線(xiàn)路AB—BD做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，沿著線(xiàn)路DC—CB—BA做勻速運(yùn)動(dòng).

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為8cm/s、10cm/s. 經(jīng)過(guò)12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，若按角的大小進(jìn)行分類(lèi)，請(qǐng)問(wèn)△AMN是哪一類(lèi)三角形，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)問(wèn)題（2）中的動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，動(dòng)點(diǎn)P的速度不變，動(dòng)點(diǎn)Q的速度改變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/2013031308180088859822/SYS201303130818561541660666_ST.files/image002.png">cm/s，經(jīng)過(guò)3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF與問(wèn)題（2）中的△AMN相似，試求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）48cm；（2）直角三角形；（3）4或12或24

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合可得△ABD是等邊三角形，即可求得結(jié)果；

（2）先分別求得12秒后點(diǎn)P和點(diǎn)Q到達(dá)的位置，連結(jié)MN，由（1）知△ABD（M）是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形即可得到結(jié)果；

（3）依題意得，3秒時(shí)點(diǎn)P走過(guò)的路程為24cm，點(diǎn)Q走過(guò)的路程為3cm，分當(dāng)點(diǎn)Q在NB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，三種情況，結(jié)合菱形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.

（1）∵四邊形ABCD是菱形

∴AB="BC=CD=AD=48"

又∵

∴△ABD是等邊三角形

∴BD=AB=48

∴BD的長(zhǎng)為48cm；

（2）如圖1，12秒后，點(diǎn)P走過(guò)的路程為8×12=96

∴12秒后點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D（M）

又∵12秒后，點(diǎn)Q走過(guò)的路程為10×12=120

∴12秒后點(diǎn)Q到達(dá)AB的中點(diǎn)N

連結(jié)MN，由（1）知△ABD（M）是等邊三角形

∴MN⊥AB于點(diǎn)N

∴

∴△AMN是直角三角形；

（3）依題意得，3秒時(shí)點(diǎn)P走過(guò)的路程為24cm，點(diǎn)Q走過(guò)的路程為3cm

∴點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)

∴DE=BE=24

當(dāng)點(diǎn)Q在NB上時(shí)（如圖1），

∴

∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)

若EF₁⊥DB，則點(diǎn)F₁與點(diǎn)A重合，這種情況不成立

∴EF₁⊥AB時(shí)，∠EF₁B=∠ANM = 90°

由（1）知∠ABD =∠A = 60°

∴△EF₁B∽△MAN

∴

∴

∴，

如圖2，由菱形的軸對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，

∴點(diǎn)Q走過(guò)的路程為36cm

∴

如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合

由（1）知，△BCD是等邊三角形

∴EF₃⊥BD于點(diǎn)E，∠EBF₃=∠A=60°

∴△F₃EB∽△MNA

此時(shí)BF₃=48

∴點(diǎn)Q走過(guò)的路程為72cm

∴

綜上所述，若△BEF∽△ANM ，則的值為4cm/s或12cm/s或24cm/s.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的四條邊均相等；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，注意對(duì)應(yīng)字母在對(duì)應(yīng)位置上.