Question

【題目】等邊△ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點M、N（如圖1）．

（1）求證：AM=AN；
（2）設BP=x．
①若BM= ，求x的值；
②求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積S與x之間的函數(shù)關系式以及S的最小值；
③連接DE分別與邊AB、AC交于點G、H（如圖2）．當x為何值時，∠BAD=15°？此時，以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：∵△ABC、△APD和△APE是等邊三角形，

∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，

∴∠DAM=∠PAN．

在△ADM和△APN中，

∵ ，

∴△ADM≌△APN，

∴AM=AN

（2）

解：①∵△ABC、△ADP是等邊三角形，

∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，

∴∠DAM=∠PAC，

∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，

∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA=180°﹣∠B﹣∠BMP，

∴∠DAM=∠BPM，

∴∠BPM=∠NAP，

∴△BPM∽△CAP，

∴ ，

∵BM= ，AC=2，CP=2﹣x，

∴4x2﹣8x+3=0，

解得x1= ，x2= ．

②∵四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，△ADM≌△APN，

∴S△ADM=S△APN，

∴S四邊形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP．

過點P作PS⊥AB，垂足為S，

在Rt△BPS中，

∵∠B=60°，BP=x，

∴PS=BPsin60°= x，BS=BPcos60°= x，

∵AB=2，

∴AS=AB﹣BS=2﹣ x，

∴AP2=AS2+PS2= =x2﹣2x+4．

取AP的中點T，連接DT，在等邊三角形ADP中，DT⊥AP，

∴S△ADP= APDT= AP× = ，

∴S=S四邊形AMPN=S△ADP= = （0＜x＜2），

∴當x=1時，S的最小值是 ．

③連接PG，若∠DAB=15°，

∵∠DAP=60°，

∴∠PAG=45°．

∵△APD和△APE是等邊三角形，

∴四邊形ADPE是菱形，

∴DO垂直平分AP，

∴GP=AG，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴∠PGA=90°．

設BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，

∴BP=2t，PG= t，

∴AG=PG= t，

∴ t+t=2，

解得t= ﹣1，

∴BP=2t=2 ﹣2．

∴當BP=2 ﹣2時，∠BAD=15°．

猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形為直角三角形．

設DE交AP于點O，

∵△APD和△APE是等邊三角形，

∴AD=DP=AP=PE=EA，

∴四邊形ADPE為菱形，

∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．

∵∠DAB=15°，

∴∠GAO=45°，

∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，

∴∠EAH=45°．

設AO=a，則AD=AE=2a，GO=AO=a，OD= a．

∴DG=DO﹣GO=（ ﹣1）a．

∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，

∴∠DHA=∠DAH=75°．

∴DH=AD=2a，

∴GH=DH﹣DG=2a﹣（ ﹣1）a=（3﹣ ）a．

HE=DE﹣DH=2DO﹣DH=2 a﹣2a．

∵DG2+GH2= ，

HE2= = ．

∴DG2+GH2=HE2，

∴以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形為直角三角形．

【解析】（1）由已知條件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，從而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出結論．（2）①由已知條件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出 ，由已知條件可以建立方程求出BP的值．②四邊形AMPN的面積就是四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，由△ADM≌△APN，S△ADM=S△APN ， 可以得出重合部分的面積就是△ADP的面積．③連接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知條件可以得出四邊形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，設BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG= t，從而求得t的值，即可以求出結論．以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形為直角三角形，由已知條件可知四邊形ADPE為菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根據(jù)∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．設AO=a，則AD=AE=2a，OD= a，得到DG=（ ﹣1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3﹣ ）a，HE=2（ ﹣1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出結論．
【考點精析】利用等邊三角形的性質和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．