Question

已知：如圖，C為半圓O上一點， AC= CE，過點C作直徑AB的垂線CP，弦AE分別交PC、CB于點D、F.

（1）       求證：AD=CD；

（2）       若DF=，∠CAE=30°，求陰影部分的面積.

 

Answer 1

(1)證明:∵弧AC=弧CE

∴ ∠CAE=∠B.

∵CP⊥AB,

∴∠CPB=90°.

∴∠B+∠BCP=90°.

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°.

∴∠ACP+∠BCP=90°

∴∠B=∠ACP.

∴∠CAE=∠ACP. 

∴AD=CD.

（2）解：連結OC.

       ∵∠CAE=30°,

       ∴∠ACD=30°,∠COA=60°.

       ∴∠CDF=60°.

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.

       ∴∠BCP=60°.

       ∴∠BCP=∠DCF=∠CFD=60°.

      ∴AD=CD=DF=

∵OA=OC, ∴△AOC是等邊三角形.

       ∴∠CAO=60°.

       ∴∠DAP=30°.

∵CP⊥OA,

       ∴AP=ADcos30°=2

∴OA=2AP=4.

        ∴DP=ADsin30°=

       ∴CP=CD+DP=2

∴S_陰影=S_扇形-S_△AOC=-=