Question

18．如圖，AB為⊙O的直徑，DC、DA、CB分別切⊙O于G、A、B．
（1）如圖1，連OD、OC，若OC=6，OD=8，求CD；
（2）如圖2，OF⊥BD于F，連CF，若tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，求sin∠CFB．

Answer 1

分析 （1）先證明∠COD=90°，再利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖2中，作CM⊥AD于M，CN⊥BD于N，設(shè)AD=3k，BD=4k，則BD=5k，BC=AM=CG=a，在RT△CMD中利用勾股定理求出a=$\frac{4}{3}$k，由△CNB∽△BAD，△OBF∽△DBA分別求出BN、BF，即可證明CB=CF，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，∵AB是直徑，BC、AD、CD是⊙O切線．
∴CB⊥AB，AD⊥AB，∠OCB=∠OCG，∠ODA=∠ODG，
∴BC∥AD，
∴∠BCG+∠ADG=180°，
∴2∠OCG+2∠ODG=180°，
∴∠OCG+∠ODG=90°，
∴∠COD=90°，∵OC=6，OD=8，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
（2）解：如圖2中，作CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．
在RT△ABD中，∵tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，
∴可以假設(shè)AD=3k，BD=4k，則BD=5k，
∵∠CBA=∠BAM=∠AMC=90°，
∴四邊形ABCM是矩形，
∴CM=AB=4k，BC=AM，設(shè)BC=AM=CG=a，
在RT△CDM中，CM=4k，DM=3k-a，CD=3k+a，
∴（3k+a）²=（4k）²+（3k-a）²，
∴a=$\frac{4}{3}$k，
∵∠CNB=∠BAD=90°，∠CBN=∠ADB，
∴△CNB∽△BAD，
∴$\frac{BN}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴BN=$\frac{4}{5}$k，
∵∠OFB=∠DAB=90°，∠OBF=∠ABD，
∴△OBF∽△DBA，
∴$\frac{OB}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴BF=$\frac{8}{5}$k，
∴BF=2NB，BN=NF，∵CN⊥BF，
∴CB=CF，
∴∠CFB=∠CBF=∠ADB，
∴tan∠CFB=tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{4k}{3k}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，學(xué)會設(shè)參數(shù)解決問題，題目比較難，善于利用勾股定理列出方程解決問題，屬于中考壓軸題．