Question

如圖，PA⊥OA于點A，PB⊥OB于點B，PA=PB，連接OA，OB，OP．
（1）求證：△AOP≌△BOP；
（2）設AC=a，BD=b，且a≠b，a與b滿足a²-10a+22=0，b²-10b+22=0，
①求AC+BD的值．
②若AP=20，CD=10，問△PCD的周長為

40

，即△PCD的周長=

2

AP；     
（3）過O作OC，OD分別交AP，BP于C，D兩點，連接CD，若△PCD周長為2AP，求證：OD平分∠BDC．

Answer 1

分析：（1）利用HL定理求出Rt△AOP≌Rt△BOP即可；
（2）①由已知得出a，b是方程x²-10x+22=0的兩根，再利用根與系數(shù)關系得出a+b=AC+BD=10即可；
②由CD=10，AC+BD=10，得出AC+BD=CD，進而求出PC+CD+PD=PA+PB得出答案即可，即可得出△PCD的周長=2AP；
（3）本題要充分利用△PCD周長=2AP的條件．延長射線PA到F，使AF=BD；易證得△OAF≌△OBD得OF=OD；由于△PCD周長=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；
再證明△OCF≌△OCD，那么兩三角形的對應邊上的高也相等，則OE=OA，然后再次證明Rt△OBD≌Rt△OED可得∠ODB=∠ODC．

解答：（1）證明：在Rt△AOP和Rt△BOP中，
∵

PO=PO PA=PB

，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）；

（2）解：∵AC=a，BD=b，且a≠b，a與b滿足a²-10a+22=0，b²-10b+22=0，
∴a，b是方程x²-10x+22=0的兩根，
∴a+b=AC+BD=10，
則AC+BD的值為10；
②∵AP=20，CD=10，AC+BD=10，
∴AC+BD=CD，
∴PC+CD+PD=PA+PB=20+20=40，
∴△PCD的周長=2AP，
故答案為：40，2．

（3）證明：
延長射線PA到F使AF=BD，過O作OE⊥CD，
∵在△OAF和△OBD中，

AF=BD ∠FAO=∠B AO=BO

，
∴△OAF≌△OBD（SAS）；
∴OF=OD；
∵△PCD的周長為=2AP，
∴△PCD的周長為=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；
∴CD=AC+BD，
∵AF=BD，
∴CF=CD；
在△COF和△COD中，

CF=CD CO=CO OF=OD

，
∴△OFC≌△OCD（SSS）；
∴CF和CD邊上所對應的高也應該相等．
∴OE=OA，
∵AO=BO，
∴BO=EO，
在Rt△OBD和Rt△OED中，

OE=OB OD=OD

，
∴Rt△OBD≌Rt△OED（HL），
∴∠ODB=∠ODC，
即：OD平分∠BDC．

點評：此題主要考查了全等三角形全等的判定與性質(zhì)，是一個很好的開放題，關鍵是掌握證明三角形全等的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．