Question

已知在菱形ABCD中，E是BC的中點，且∠FAE=∠BAE．
（1）如圖，當(dāng)點F在邊DC的延長線上時，求證：AF=BC-CF；
（2）當(dāng)點F與點C重合時，求∠B的度數(shù)，并說明理由；
（3）當(dāng)點F在邊DC上時，（1）中求證的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請直接寫出成立的結(jié)論；
（4）當(dāng)∠B=90°時，請確定點F的位置．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)E是BC的中點，結(jié)合菱形的對邊平行，證明△ABE與△GCE全等，從而得到BC=CG，再根據(jù)菱形的四條邊都相等，BC=CG，結(jié)合圖形邊不難證出；
（2）F與C重合，根據(jù)（1）中的結(jié)論，可以得到AC=CG=AB，也就是對角線AC等于菱形的邊長，所以△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角是60°即可求解；
（3）很明顯，AF=FG，大于CG，也就是BC的長度，所以結(jié)論不成立，根據(jù)線段的和差關(guān)系寫出結(jié)論即可；
（4）∠B=90°時，菱形ABCD為正方形，設(shè)正方形的邊長為x，在△ADF中，分別表示出AF、FD的長度，然后利用勾股定理列式整理即可得到CF與邊長的關(guān)系，從而得到點F的位置．

解答：（1）證明：∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠G，
在△ABE與△GCE中，

∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC BE=CE

，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴AB=CG，
又∵∠FAE=∠BAE，
∴∠FAE=∠G，
∴AF=FG，
∴AF=CG-CF=BC-CF；

解：（2）∵F與點C重合，
∴CF=0，AF=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°；

（3）不成立．
∵AF=FG，BC=CG，
∴AF=FG=CG+CF，
即AF=BC+CF；

（4）∵∠B=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
設(shè)正方形的邊長為x，則
AD=x，AF=FG=BC+CF=x+CF，F(xiàn)D=CD-CF=x-CF，
在△AFD中，AF²=AD²+FD²，
即（x+CF）²=x²+（x-CF）²，
整理得CF=

1

4

x，
即CF=

1

4

CD．

點評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，此類題目中考中常見，利用好第一問的結(jié)論和解題思路是關(guān)鍵．