Question

4．問題探究：
在直線y=$\frac{1}{2}$x+3上取點(diǎn)A（2，4）、B，使∠AOB=90°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
小明同學(xué)是這樣思考的，請你和他一起完成如下解答：
將線段OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-4，2）
所以，直線OC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x
點(diǎn)B為直線AB與直線OC的交點(diǎn)，所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-3，$\frac{3}{2}$）
問題應(yīng)用：
已知拋物線y=-$\frac{1}{9}{x^2}+\frac{2}{9}mx-\frac{1}{9}{m^2}+\frac{1}{3}m+\frac{5}{3}$的頂點(diǎn)P在一條定直線l上運(yùn)動．
（1）求直線l的解析式；
（2）拋物線與直線l的另一個交點(diǎn)為Q，當(dāng)∠POQ=90°時，求m的值．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OA與OC的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得OC的解析式，根據(jù)聯(lián)立AB與OC，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（1）根據(jù)配方法，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，可得直線l的解析式；
（2）根據(jù)聯(lián)立拋物線與直線l，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得K點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得OK的解析式，根據(jù)聯(lián)立OK與直線l，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得m的值．

解答 解：如圖1，
將線段OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OC，
在△OAD和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠COE}\\{∠ADO=∠CEO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
△OAD≌△OCD（AAS），
CE=AD=2，OE=OD=4，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-4，2 ）；  
直線OC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x；
聯(lián)立OC與AB，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-3，$\frac{3}{2}$）；
故答案為：（-4，2），（-3，$\frac{3}{2}$）．
（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{9}$mx-$\frac{1}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{9}$（x²-2mx+m²）+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{9}$ （x-m）²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$．
所以，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$），
∴點(diǎn)P在直線y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$上運(yùn)動．
即直線l的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$  ①．
（2）因為，點(diǎn)P，Q為直線l與拋物線的交點(diǎn)，
所以$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{1}{9}（x-m）^{2}+\frac{1}{3}m+\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
加減消元，得
$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$=-$\frac{1}{9}$ （x-m）²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$．
解之，得，x₁=m，x₂=m-3．
所以，P的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$），Q的坐標(biāo)為（m-3，$\frac{m+2}{3}$）．
將線段OP繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OK，得
點(diǎn)K的坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{3}$m-$\frac{5}{3}$，m）；
所以，直線OK的解析式為：y=-$\frac{3m}{m+5}$x  ②；  
因為當(dāng)∠POQ=90°時，點(diǎn)Q在直線OK上．
聯(lián)立①②，得
$\frac{1}{3}$（m+2）=-$\frac{3m}{m+5}$（m-3）．
解得m=1．
拋物線與直線l的另一個交點(diǎn)為Q，當(dāng)∠POQ=90°時，m的值是1．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用線段旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OA是解題關(guān)鍵，又利用全等三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用解方程得出B點(diǎn)坐標(biāo)；利用配方法得出頂點(diǎn)坐標(biāo)所在直線是解題關(guān)鍵．