Question

16．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF；
（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）求證：AB=CE+BF；
（3）若∠CAE=30°，求∠ACF度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，可以得到Rt△ABE和Rt△CBF全等的條件，從而可以證明Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）根據(jù)Rt△ABE≌Rt△CBF，可以得到AB=BC，BE=BF，然后即可轉(zhuǎn)化為AB、CE、BF的關(guān)系，從而可以證明所要證明的結(jié)論；
（3）根據(jù)Rt△ABE≌Rt△CBF，AB=CB，∠CAE=30°，可以得到∠ACF的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）證明：∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴AB=BC，BE=BF，
∵BC=BE+CE，
∴AB=CE+BF．
（3）∵AB=CB，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
∴∠EAB=15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠EAB=∠FCB，
∴∠FCB=15°，
∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°，
即∠ACF=60°．

點評 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所要證明結(jié)論需要的條件．