Question

（2012•珠海）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3

2

，DC=

2

，高CE=2

2

，對(duì)角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對(duì)角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩直線同時(shí)停止移動(dòng)．記等腰梯形ABCD被直線MN掃過(guò)的圖形面積為S₁、被直線RQ掃過(guò)的圖形面積為S₂，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒．
（1）填空：∠AHB=

90°

；AC=

4

；
（2）若S₂=3S₁，求x；
（3）設(shè)S₂=mS₁，求m的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)C作CK∥BD交AB的延長(zhǎng)線于K，易證得四邊形DBKC是平行四邊形，可求得AK=4

2

，由四邊形ABCD是等腰梯形，可得AC=CK，又由CE=2

2

且是高，即可證得∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，繼而求得∠AHB的度數(shù)，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，求得AC的長(zhǎng)；
（2）直線移動(dòng)有兩種情況：0＜x＜

3

2

及

3

2

≤x≤2；然后分別從這兩種情況分析求解，注意當(dāng)0＜x＜

3

2

時(shí)，易得S₂=4S₁≠3S₁；當(dāng)

3

2

≤x≤2時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的面積的求解方法，可求得△BCD與△CRQ的面積，繼而可求得S₂與S₁的值，由S₂=3S₁，即可求得x的值；
（3）由（2）可得當(dāng)0＜x＜

3

2

時(shí)，m=4；當(dāng)

3

2

≤x≤2時(shí)，可得m═-36（

1

x

-

2

3

）²+4，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得m的變化范圍．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CK∥BD交AB的延長(zhǎng)線于K，
∵CD∥AB，
∴四邊形DBKC是平行四邊形，
∴BK=CD=

2

，CK=BD，
∴AK=AB+BK=3

2

+

2

=4

2

，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，
∴AC=CK，
∴AE=EK=

1

2

AK=2

2

=CE，
∵CE是高，
∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，
∴∠ACK=90°，
∴∠AHB=∠ACK=90°，
∴AC=AK•cos45°=4

2

×

2

2

=4；
故答案為：90°，4；

（2）直線移動(dòng)有兩種情況：0＜x＜

3

2

及

3

2

≤x≤2．
①當(dāng)0＜x＜

3

2

時(shí)，
∵M(jìn)N∥RQ，
∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△AQG，
∴

S2

S1

=(

AG

AF

)2=4，
∴S₂=4S₁≠3S₁；
②當(dāng)

3

2

≤x≤2時(shí)，
∵AB∥CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，
∴CH=DH=

1

4

AC=1，AH═BH=4-1=3，
∵CG=4-2x，AC⊥BD，
∴S_△BCD=

1

2

×4×1=2，
∵RQ∥BD，
∴△CRQ∽△CDB，
∴S_△CRQ=2×（

4-2x

1

）²=8（2-x）²，
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•CE=

1

2

×（3

2

+

2

）×2

2

=8，S_△ABD=

1

2

AB•CE=

1

2

×3

2

×2

2

=6，
∵M(jìn)N∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
∴

S1

S△ABD

=(

AF

AH

)2=

x2

9

，
∴S₁=

2

3

x²，S₂=8-8（2-x）²，
∵S₂=3S₁，
∴8-8（2-x）²=3×

2

3

x²，
解得：x₁=

6

5

＜

3

2

（舍去），x₂=2，
∴x的值為2；

（3）由（2）得：
當(dāng)0＜x＜

3

2

時(shí)，m=4，
當(dāng)

3

2

≤x≤2時(shí)，m=3，
∵S₂=mS₁，
∴m=

S2

S1

=

8-8(2-x)2

2 3 x2

=-

36

x2

+

48

x

-12=-36（

1

x

-

2

3

）²+4，
∴m是

1

x

的二次函數(shù)，當(dāng)

3

2

≤x≤2時(shí)，即當(dāng)

1

2

≤

1

x

≤

2

3

時(shí)，m隨

1

x

的增大而增大，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，m最大，最大值為4，
當(dāng)x=2時(shí)，m最小，最小值為3，
∴m的變化范圍為：3≤m≤4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．