Question

在1，2，3，…，90，91這91個自然數(shù)中，任取k個數(shù)，使得其中必有兩個自然數(shù)p、q滿足≤≤，試確定自然數(shù)k的最小值并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：首先將1～91這91個自然數(shù)分為9組，若從這91個數(shù)中取9個數(shù)，如上列9組中的最后一個1，3，6，10，16，25，39，60，91，這9個數(shù)中任意二數(shù)之比均小于或大于，找到k的取值范圍，然后根據(jù)抽屜原理證明k=10時，必有兩個數(shù)屬于同一個A_i，這兩個數(shù)就是p、q，若p＜q，則≤≤成立．
解答：解：將1～91這91個自然數(shù)分為9組：
A₁={1}，A₂={2，3}，A₃={4，5，6}，A₄={7，8，9，10}，
A₅={11，12，13，14，15，16}，A₆={17，18，19，25}，
A₇={26，27，28，39}，A₈={40，41，42，60}，
A₉={61，62，63，91}．
其中A₁中的1滿足≤1≤，其他各組中任意兩個自然數(shù)的比值均不小于且不大于．
若從這91個數(shù)中取9個數(shù)，如上列9組中的最后一個1，3，6，
10，16，25，39，60，91，這9個數(shù)中任意二數(shù)之比均小于或大于，這說明當(dāng)k取9時，不一定能滿足所要求的條件，∴k≥10．
當(dāng)k=10時，在1～19這91個自然數(shù)中任取10個數(shù)，這10個數(shù)可以安排到A₁～A₉各組中去，由于是10個數(shù)，而只有9個組，根據(jù)抽屜原則，必有兩個數(shù)屬于同一個A_i，這兩個數(shù)就是p、q，若p＜q，則≤≤成立．
∴k是最小值是10．
點(diǎn)評：本題主要考查抽屜原理的知識點(diǎn)，將所給的數(shù)適當(dāng)?shù)胤纸M，就是構(gòu)造抽屜常用的方法．這道題將1～91這91個自然數(shù)分成9組，每一組就相當(dāng)于一個抽屜，而1～91中的自然數(shù)就是元素．