Question

兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過(guò)觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為

 

和位置關(guān)系為

 

；
（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖3，將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明．

Answer 1

分析：（1）證AD=BE，根據(jù)三角形的中位線推出FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，即可推出答案；
（2）證△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；
（3）連接BE、AD，根據(jù)全等推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案．

解答：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，
∴FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案為：相等，垂直．

（2）答：成立，
證明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，
∴FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，
∴（1）中的猜想還成立．

（3）答：成立，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．
連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，
同（1）可證
∴FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE CE=CD

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°-90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，
結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．